Сначала немного про то, что же такое резус конфликт. Наличие или отсутствие
резус-фактора в эритроцитах людей обуславливает принадлежность их к
резус-положительной (Rh+) или резус-отрицательной (Rh-) группе. Установлено, что
86% людей европеоидной (белой) расы обладают резус-положительным, а 14% -
резус-отрицательным.
Эта ситуация встречается не так уж и редко. Если вы девушка с отрицательным
резусом, тогда с вероятностью примерно 63% у вас будет резус конфликт. Причина
ее - несовместимость крови матери и плода по так называемому резус-фактору.
Резус-фактор (по-другому - резус-антиген или Rh-антиген) представляет собой
вещество, находящееся на поверхности красных кровяных клеток (эритроцитов).
Смысл Rh-антигена в том, что он служит опознавательным знаком для иммунной
системы, своеобразным "удостоверением личности". Угроза резус-конфликта при
беременности существует лишь в том случае, если женщина резус-отрицательна, а ее
муж (отец будущего ребенка) - резус-положительный.
Необходимо отметить, что первая беременность резус-отрицательной женщины Rh(+)-плодом
чаще всего заканчивается нормально. При последующих аналогичных беременностях
риск конфликта увеличивается (даже если был аборт или выкидыш). Почему это
происходит, станет понятно после объяснения механизма резус-конфликта.
Суть резус-конфликта заключается в следующем: во время беременности эритроциты
плода через плаценту попадают в кровь матери. Резус-антиген, находящийся на
эритроцитах плода играет роль "неправильного удостоверения личности" для
иммунной системы матери. Клетки плода признаются чужеродными и подвергаются
уничтожению с помощью специальных белков - антител. Поскольку эритроциты плода
продолжают поступать в материнский кровоток, продолжается и выработка
губительных антител. Антитела "ищут" источник поступления "чужих" клеток, т.е.
плод. На их пути встает плацента. И если антителам удается прорвать ее барьер,
то они начинают уничтожать эритроциты плода уже в его собственных сосудах. При
этом появляется большое количество вещества, называемого билирубином. Билирубин
может повреждать мозг плода, окрашивать его кожу в желтый цвет (желтуха).
Поскольку эритроциты плода непрерывно уничтожаются, его печень и селезенка
стараются ускорить выработку новых эритроцитов, при этом увеличиваясь в
размерах. В конце концов, не справляются и они. Наступает сильное кислородное
голодание и запускается новый виток тяжелых нарушений в организме плода. В самых
тяжелых случаях это заканчивается врожденной водянкой плода, которая может
привести к его смерти (и даже смерти матери). В более легких случаях
резус-конфликт проявляется после рождения желтухой или анемией у новорожденного.
Все эти состояния объединяются медицинским термином "гемолитическая болезнь
плода и новорожденного". Лечение этой болезни сложное, комплексное, иногда
требуется заменное переливание крови малышу.
При первой беременности иммунная система будущей матери встречается с "чужаками"
(Rh+ эритроцитами плода) впервые. Поэтому антител вырабатывается не так много:
примерно столько, сколько нужно для уничтожения поступающих эритроцитов плода.
Темп образования антител тоже не слишком высок (это ведь первая встреча!). Зато
после родов в организме женщины остаются "клетки памяти", которые при
последующих беременностях сумеют "организовать" быструю и мощную выработку
антител против резус-фактора. Поэтому реакция женской иммунной системы на
плодовый резус антиген при второй и третьей беременности гораздо оперативнее,
чем при первой. Соответственно, гораздо выше и риск поражения плода. У
"положительной" мамы резус-конфликта с плодом не бывает ни при каких
обстоятельствах, и резус отца в данном случае не имеет никакого значения.
Итак, наконец я решил написать про исследование распределения резуса фактора
среди населения и изменения его во времени.
Есть люди с отрицательным и положительным резусом, отрицательные определяются
однозначно (--), а положительные бывают двух типов - гомозиготные (++) и
гетерозиготные (+-) (присутствие резуса доминирующее свойство).
Первое что я решил сделать - это вычислить - а сколько же среди резус
положительных людей - гомозиготных (++) и сколько гетерозиготных (+-). И
оказывается это можно вычислить зная только лишь сколько процентов населения
имеют отрицательный резус (--) !
Итак, коротко несколько очевидных положений использованных при вычислениях.
Резус отрицательных женщин столько же (в процентах) сколько и резус
отрицательных мужчин (это будет понятно ниже). Также одинаково количество (в
процентах) количество гомозиготных по резусу мужчин и женщин. То есть
распределение резуса одинаково среди мужчин и женщин. Это становится более
понятно если предположить очевидное - от любой пары (сочетания любых резусов и
групп) мужчина+женщина с одинаковой вероятностью может родиться мальчик или
девочка (в среднем).
Далее, более важные вещи.
От пары гомозиготных (++) и (++) получатся дети (++).
От пары гомозиготный и гетерозиготный (++) и (+-) получится с вероятностью 50%
гомозиготный (++) и 50% гетерозиготный (+-).
От пары гетерозиготных (+-) и (+-) получатся с вероятностью 25% гомозиготный
(++), с вероятностью 50% гетерозигтный (+-), и с вероятностью 25% (--).
От пары (+-) и (--) получатся с вероятностью 50% (+-) и с вероятностью 50% (--).
От пары (--) и (--) всегда только (--).
От пары (++) и (--) всегда только (+-).
Обозначим буквами: A, B, C соответственно количество гомозиготного (A)(++),
гетерозиготного (B)(+-) и резус отрицательного (C)(--) населения. Это доли, а в
сумме A+B+C=1.
(Помним - распределение у женщин и мужчин мы считаем одинаковым, так и есть на
самом деле)
Значит вот, теперь считам что пары формируются тоже случайно. Итак случайно
выберем особь первого пола.
------------
Случайно выбранная особь первого пола оказалась типа (++), вероятность
этого A и она выбирает себе пару.
С вероятностью A это будет тоже особь (++) и дети их будут только типа (++).
Общий вклад A*A типа (++).
Далее, если особь типа (++) выбрала себе пару типа (+-) (вероятность этого B),
дети (+-) и (++).
Общий вклад A*B*(1/2) типа (++) и столько же (+-).
Далее, если особь типа (++) выбрала себе пару типа (--) (вероятность этого C),
дети (+-).
Общий вклад A*C типа (+-).
------------
Теперь случайно выбранная особь первого пола оказалась типа (+-), вероятность
этого B.
Если её пара будет (++) с вероятностью A.
Общий вклад A*B*(1/2) типа (++) и столько же (+-).
Если её пара будет (+-) с вероятностью B.
Общий вклад B*B*(1/4) типа (++) и столько же (--), и B*B*(1/2) типа (+-).
Если её пара будет (--) с вероятностью C.
Общий вклад C*B*(1/2) типа (+-) и C*B*(1/2) типа (--).
------------
И последнее случайно выбранная особь оказалась типа (--), отрицательный резус,
вероятность этого C.
Если её пара будет (++) с вероятностью A.
Общий вклад A*C типа (+-).
Если её пара будет (+-) с вероятностью B.
Общий вклад C*B*(1/2) типа (+-) и столько же (--).
Если её пара будет (--) с вероятностью C.
Общий вклад C*C типа (--).
------------
(Первый пол и второй пол - это мужской и женский, если поменять местами, то
ничего не изменится, формулы будут такими же.)
Теперь посмотрим какой резус будет у случайной пары, когда получится ребёнок
(++).
A*A+A*B*(1/2)+A*B*(1/2)+B*B*(1/4)
А когда ребёнок (+-) !?
A*B*(1/2)+A*C+A*B*(1/2)+B*B*(1/2)+C*B*(1/2)+A*C+C*B*(1/2)
И наконец когда же (--) !?
B*B*(1/4)+C*B*(1/2)+C*B*(1/2)+C*C
Сократим выражения.
(++) с вероятностью A*A+A*B+B*B*(1/4)
(+-) с вероятностью A*B+2*A*C+C*B+B*B*(1/2)
(--) с вероятностью C*C+C*B+B*B*(1/4)
Вот это и есть баланс резуса ! На самом деле первое выражение и равно A, второе
равно B, третье равно C (только в следующем поколении). Теперь учитывая что
крови разных резусов находятся в равновесии и не изменятся от прошлого поколения
приравняем значения.
Получили систему:
A=A*A+A*B+B*B*(1/4)
B=A*B+2*A*C+C*B+B*B*(1/2)
С=C*C+C*B+B*B*(1/4)
Заметим что сумма всех уравнений (правых частей) также равна единице.
A*A+A*B+B*B*(1/4)+A*B+2*A*C+C*B+B*B*(1/2)+C*C+C*B+B*B*(1/4)=
A*A+B*B+C*C+2*A*B+2*B*C+2*A*C=
(A+B+C)*(A+B+C)=1*1=1
Так и должно быть, ведь мы перебрали ВСЕ сочетания пар.
----------------
C - известно, можно узнать также и A и B. Это так называемое мгновенное
состояние. Решая систему получим (сначала легко найти B из третьего уравнения):
A=1+C-2*sqrt(C)
B=2*(sqrt(C)-C)
(где sqrt(x) корень квадратный из x)
Если резус отрицательного населения 14% (C=0.14) тогда гомозиготных (++) 39.17%
(A=0.3917), а гетерозигтных (+-) 46.83% (B=0.4683).
Как видно мгновенное состояние - это сочетание трёх чисел зависящих только от
первого однозначно, то есть это не любой набор чисел. Прошу это заметить. К
этому я вернусь позже в рассказе. (Немного позже я узнал, что в
более простой и другой формулировке этот факт известен как закон Харди-Вайнберга.
Но у меня более развёрнуто и есть возможность проследить эволюцию состояния,
кроме того Математика - это круто, можно вывести такое только теоретически)
***
А сейчас к вопросу если родители оба имеют положительный резус, но неизвестно их
принадлежность (++) или (+-) какова вероятность что у ребёнка будет
положительный резус и вероятность что он будет гомозиготен/гетерозиготен ?
Сейчас эту задачу легко решить. Человек имеет положительный резус (это ++ или
+-), с вероятностью A+B.
В этом случае он гомозиготен с вероятностью A/(A+B) и гетерозиготен с
вероятностью B/(A+B). Обозначим p=A/(A+B), q=B/(A+B).
Вероятность того что ребёнок будет гомозиготен (++) вот такая: p*p+p*q+q*q*(1/4)
Вероятность того что ребёнок будет гетерозиготен (+-) вот такая: p*q+q*q*(1/2)
Вероятность того что ребёнок будет резус отрицательным (--) вот такая: q*q*(1/4)
То есть если резус отрицательного населения у нас 14% то в паре где у обоих
родителей положительный резус (но неизвестно ++ или +-) ребёнок у них будет
гомозигтный (++) с вероятностью 52.96 % и гетерозиготный (+-) с вероятностью
39.63 %, также возможно что и резус отрицательный 7.41 % (всего то). Ну а если
известно что папа и мама имеют резус плюс, и ребёнок тоже резус плюс, тогда он
гомозиготен (++) с вероятностью 57.2%, и гетерозиготен с вероятностью 42.8%.
--------------
Теперь вернёмся к сочетанию
гомозиготный/гетерозиготный/отрицательный.
У нашего населения это 39.17%, 46.83%, и 14.00% соответственно.
А что если нарушить сочетание этих типов резуса (случайно, или специально из-за
катастрофы)? Пусть например гомозиготных будет 80%, гетерозиготных будет 6%,
отрицательных так же 14%, проследим что же получится ? А получится вот что -
данное сочетание не сбалансировано и если дать такому населению размножаться, то
уже в следующем поколении резусы придут к новому сбалансированному сочетанию:
68.89% гомозиготных по резусу, 28.22% гетерозиготных по резусу и 2.89%
отрицательных.
(Это можно вычислить по формулам новые значения с подчёркиванием: _A=A*A+A*B+B*B*(1/4),
_B=A*B+2*A*C+C*B+B*B*(1/2), _С=C*C+C*B+B*B*(1/4)).
Причём это сочетание будет точно таким же и в следующем и во всех последующих
поколениях! Что странно, оно очень быстро приходит в равновесие. И вычисления
следующих A, B, C по полученным дадут те же самые числа A, B, C. И кроме того
система устойчива - малое изменение одного из чисел не приводят к тому что все
значения поплывут куда либо, они просто устойчиво держатся сбалансированной
тройкой чисел.
Получается, что если выживаемость людей с положительным резусом (гомо и гетерео)
такая же как и у людей с отрицательным резусом и пары формируется равномерно, то
баланс резуса крови гомозиготный/гетерозиготный/отрицательный может держаться
одинаковым и неизменным сколь угодно долго, хоть миллионы лет ...
Но вот именно, что выживаемость то разная! Точнее возможность родиться. До этого
при вычислениях считалось что все женщины с любым резусом могут иметь одинаковое
количество детей с любым резусом. Но это не так на самом деле! Теперь введём
ограничение - женщина с отрицательным резусом не может иметь много детей с
положительным резусом. Много - это в смысле столько, сколько она и другие могли
бы иметь при других сочетаниях резуса.
ЕСТЬ ПОНЯТИЕ РЕЗУС КОНФЛИКТА, И ЭТО МОДЕЛЬ С УЧЁТОМ ЕГО.
Если резус отрицательная (--) женщина родит резус положительного ребёнка, то он
обязательно должен быть гетерозиготный (+-). Такой вклад даёт выражение: A*C+B*C*(1/2).
Уменьшим немного его, а полученные числа нормируем так чтобы сумма их была
единица. По текущим A,B,C вычислим промежуточные X,Y,Z, и наконец _A,_B,_C
следующего поколения, потом снова и снова, можно проследить как будет меняться
количество резус отрицательных особей.
X=A*A+A*B+B*B*(1/4)
Y=A*B+A*C+C*B*(1/2)+B*B*(1/2)+(A*C+B*C*(1/2))*Alpha
Z=C*C+C*B+B*B*(1/4)
_A=X/(X+Y+Z);
_B=Y/(X+Y+Z);
_C=Z/(X+Y+Z);
Alpha - число немного меньшее единицы, это и есть вклад вреда от резус конфликта
при беременности (если Alpha=1 то никакого вреда нет, но на самом деле оно
немного меньше чем 1, а сколько точно я не знаю, но общие результаты
экспериментов получаются одинаковыми при любом Alpha, с условием 0<Alpha<1).
Начинаем вычислять следующее поколение и так далее ... (Alpha немного меньше
единицы)
Наблюдаем такое явление - людей с отрицательным резусом становится всё меньше и
меньше, и их доля уменьшается очень плавно. Вроде бы мы ограничиваем рождаемость
резус положительных - гетерозиготных, а становится меньше всё-таки резус
отрицательных! Это объясняется тем, что в первый момент реакции системы -
гетерозиготных (+-) при размножении частично заменяют гомозиготные (++), а их
дети всегда имеют положительный резус.
Вот куски вычислений эволюции:
(почти начало)
A = 0.392309 (гомозиготные ++)
B = 0.467746 (гетерозиготные +-)
C = 0.139946 (отрицательные --)
(далее через несколько поколений)
A = 0.431929
B = 0.450303
C = 0.117769
...
(далее очень далеко)
A = 0.770161
B = 0.214839
C = 0.0150008 (это полтора процента резус отрицательного населения, как у
азиатов)
(и ещё дальше)
A = 0.863602
B = 0.131396
C = 0.00500148 (это половина одного процента резус отрицательного населения, как
у негров)
Видимо у них выживаемость была труднее и отрицательный резус вымер раньше, и
белые тоже на пути к этому.
